Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；
（Ⅲ）若存在（是自然對數(shù)的底數(shù)）使，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的減區(qū)間是,增區(qū)間是；
（Ⅱ）的最小值為；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）求出的導數(shù)，由的符號確定的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出的導數(shù)，由在上恒成立求得實數(shù)的最小值；（Ⅲ）注意左右兩邊的自變量是獨立的.若存在使成立，則.故首先求出然后解不等式求實數(shù)的取值范圍.
試題解析：解：（Ⅰ）由得, 且,則函數(shù)的定義域為,
且,令,即,解得
當且時, ;當時,
函數(shù)的減區(qū)間是,增區(qū)間是                           4分
（Ⅱ）由題意得：函數(shù)在上是減函數(shù)，
在上恒成立，即在上恒成立
令，因此即可

當且僅當，即時取等號
因此，故的最小值為.                             8分
（Ⅲ）命題“若存在，使，”等價于
“當時，有”，
由（Ⅱ）得，當時，，則，
故問題等價于：“當時，有”，
,由（Ⅱ）知,
（1）當時，在上恒成立，因此在 上為減函數(shù)，則,故,
（2）當時，在上恒成立，因此在上為增函數(shù)，
則，不合題意
（3）當時，由于在上為增函數(shù)，
故的值域為，即
由的單調(diào)性和值域知，存在唯一，使，且滿足：當時，為減函數(shù)；當時，為增函數(shù)；
所以，
所以，與矛盾，不合題意
綜上，得.                                             12分