Question

己知函數(shù) .
(I)若是，的極值點(diǎn)，討論的單調(diào)性；
(II)當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

（I)當(dāng)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減； (II)證明過(guò)程如下解析.

試題分析：（I)由是函數(shù)的極值點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而分析的符號(hào)，進(jìn)而可由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（II) 要求，不易證明.但當(dāng)時(shí)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化證明.可由圖像法確定零點(diǎn)的位置及進(jìn)而確定的單調(diào)性及，得證.
試題解析：(I) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024619301738.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且.又因是，的極值點(diǎn)，所以，解得，所以，.另得，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)單調(diào)遞減.
（II) 當(dāng)時(shí)，，所以.令，只需證 .令，即，由圖像知解唯一，設(shè)為，則，.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024619956610.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，.