Question

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)，，函數(shù)和的圖像在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線分別為、，且.
（1）求常數(shù)的值及、的方程；
（2）求證：對于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)，有；
（3）若存在使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1），所以直線的方程為，直線的方程為；
（2）詳見解析；（3）實數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先確定函數(shù)、的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用相應(yīng)的圖象在交點(diǎn)處的切線平行列出有關(guān)的方程求解出的值，然后在確定兩個函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、的方程；
（2）利用的性質(zhì)，引入函數(shù)，從而將化為，構(gòu)造新函數(shù)，，問題轉(zhuǎn)換為進(jìn)行處理；（3）將等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為進(jìn)行處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的最小值，在判斷導(dǎo)數(shù)的符號時，可以結(jié)合基本不等式來處理.
試題解析：（1）對于函數(shù)而言，，函數(shù)的定義域為，
故函數(shù)與軸無交點(diǎn)，因此函數(shù)與軸有交點(diǎn)，
令，解得，，，
，，即函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，與軸有交點(diǎn)，
且，，
由題意知，，即，解得，因為，所以，
，，，，，，
所以直線的方程為，即，
直線的方程為，即；
（2）函數(shù)與的公共定義域為，
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，和函數(shù)的圖象，易知當(dāng)時，，
，
令，，其中，
，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
，令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，，
，證畢！
（3）問題等價于“存在使得成立”“存在使得成立”，其中，
令，則有，則函數(shù)的定義域為，

，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
因此，故實數(shù)的取值范圍是.