Question

已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，是否存在，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與 在
上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）或;(2).

試題分析：(1)對(duì)在處求導(dǎo)，求出切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)可求解；(2)求導(dǎo)解出的最小值為1，對(duì)曲線C求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為1，得到方程，構(gòu)造新函數(shù)，用求導(dǎo)方法判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得解.
試題解析：（1），                                         1分
所以在處的切線為
即：                                                      2分
與聯(lián)立，消去得，
由知，或.                                    4分
（2）當(dāng)時(shí)，令 得 

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

則                                                          6分
設(shè)，
則，                         7分
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線斜率與
在上的最小值相等，即為方程的解，                             8分
令得：，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824021817977433.png" style="vertical-align:middle;" />， 所以.    10分
令，則 ，                        11分
當(dāng)是，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
,故方程 有唯一解為 ，               13分
所以存在符合條件的，且僅有一個(gè).                              14分