Question

給出下列四個命題，其中真命題為______．
①“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，都有x²+1≤3x”；
②“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分條件；
③設(shè)圓x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）與坐標軸有4個交點，分別為A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，y₁），D（0，y₂），則x₁x₂-y₁y₂=0；
④函數(shù)f（x）=sinx-x的零點個數(shù)有2個．

Answer 1

對于①，“?x₀∈R，使得x₀²+1＞3x₀”為特稱命題，其否定是全稱命題“?x∈R，都有x²+1≤3x”，命題①正確；
對于②，m=-2時，直線（m+2）x+my+1=0化為y=

1

2

，直線（m-2）x+（m+2）y-3=0化為x=-

3

4

，
∴“m=-2”是“直線（m+2）x+my+1=0與直線（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的充分條件，命題②錯誤；
對于③，當y=0時，圓x²+y²+Dx+Ey+F=0化為x²+Dx+F=0，x₁x₂=F．
當x=0時，圓x²+y²+Dx+Ey+F=0化為y²+Ey+F=0，y₁y₂=F．
∴x₁x₂-y₁y₂=F-F=0．命題③正確；
對于④，∵x∈(0，

π

2

)時，函數(shù)f（x）=sinx-x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=cosx-1＜0，
∴f（x）＜f（0）=0，
∴sinx＜x，則只有x=0時sin0=0，
又函數(shù)y=sinx與y=x均為奇函數(shù)，
∴函數(shù)y=sinx的圖象與函數(shù)y=x的圖象只有1個公共點，即函數(shù)f（x）=sinx-x的零點個數(shù)有1個．
命題④錯誤．
∴真命題為①③．
故答案為：①③．