Question

有下列命題：
①已知函數f（x）為連續(xù)可導函數，若f（x）為奇函數，則f（x）的導函數f′（x）為偶函數；
②若函數f（x）=x²，則f′（2x）=[f（2x）]′；
③若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），則g′（6）=120；
④若三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，則“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充要條件．
其中真命題的序號是______．

Answer 1

①∵函數f（x）為連續(xù)可導函數，f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），兩邊求導可得-f′（-x）=-f′（x），
∴f′（-x）=f′（x），∴f（x）的導函數f′（x）為偶函數；
因此正確．
②函數f（x）=x²，則f′（2x）=2[f（2x）]′，因此②不正確；
③∵函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-5）（x-6），
∴g′（x）=（x-2）…（x-5）（x-6）+（x-1）（x-3）…（x-6）+…+（x-1）（x-2）…（x-5），
則g′（6）=0+（6-1）×（6-2）×…×（6-5）=120，因此正確；
④三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）=3ax²+2bx+c，
若函數三次函數f（x）有極值，則f′（x）=0有兩個不相等的實數根，
∴△=4b²-12ac＞0，化為b²＞3ac．
當a+b+c=0時，b²-3ac=（a+c）²-3ac=(a-

1

2

c)2+

3

4

c2＞0（否則a=c=0，與題意矛盾）．反之不成立．
因此“a+b+c=0”是“f（x）有極值”的充分但不必要條件．
因此④不正確．
綜上可知：只有①③正確．
故答案為：①③．