Question

如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F．

(I) 證明： PA∥平面EDB；
(II) 證明：PB⊥平面EFD；

Answer 1

(1)結(jié)合線面的判定定理，根據(jù)題意得到PA∥EO是解題的關(guān)鍵一步
(2)根據(jù)已知的線面垂直可知PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
，同時(shí)可知同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．進(jìn)而推理得到BC⊥平面PDC．結(jié)合判定定理得到證明。

試題分析：解：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）證明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC．①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力