【題目】設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(0,+∞)上,且f(1)=0,導(dǎo)函數(shù)f′(x)=,函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x).
(1)求函數(shù)g(x)的最小值;
(2)是否存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立?若存在,請求出x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)1;(2)滿足條件的x0不存在,理由見解析。
【解析】
(I)根據(jù)題意求出f(x)的解析式,代入g(x)=f(x)+f′(x).求出g(x),根據(jù)g′(x)得出函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;(2) 假設(shè)存在x0>0,使|g(x)﹣g(x0)|<成立,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域,得矛盾.
(1)由題設(shè),易知f(x)=ln x,g(x)=ln x+.
∴g′(x)=.令g′(x)=0,得x=1.
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,故區(qū)間(0,1)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,故區(qū)間(1,+∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
∴函數(shù)g(x)的最小值為g(1)=1.
(2)滿足條件的x0不存在.理由如下:
假設(shè)存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立.
由(1)知函數(shù)g(x)的最小值為g(1)=1.
∴當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)g(x)的值域?yàn)閇1,+∞),
從而可取一個(gè)x1>1,使g(x1)≥g(x0)+1,
即g(x1)-g(x0)≥1 故|g(x1)-g(x0)|≥1>,與假設(shè)矛盾.
∴不存在x0>0,使得不等式|g(x)-g(x0)|<對任意x>0恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校某文具商店經(jīng)營某種文具,商店每銷售一件該文具可獲利3元,若供大于求則削價(jià)處理,每處理一件文具虧損1元;若供不應(yīng)求,則可以從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每件文具僅獲利2元.為了了解市場需求的情況,經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了去年一年(52周)的銷售情況.
銷售量(件) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
周數(shù) | 2 | 4 | 8 | 13 | 13 | 8 | 4 |
以去年每周的銷售量的頻率為今年每周市場需求量的概率.
(1)要使進(jìn)貨量不超過市場需求量的概率大于0.5,問進(jìn)貨量的最大值是多少?
(2)如果今年的周進(jìn)貨量為14,寫出周利潤Y的分布列;
(3)如果以周利潤的期望值為考慮問題的依據(jù),今年的周進(jìn)貨量定為多少合適?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)滿足x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(x+1)恰有三個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是( )
A.(0, )
B.(0, )
C.( , )
D.( , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義為n個(gè)正數(shù)的“均倒數(shù)”.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若4<對一切恒成立試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(3)令,問:是否存在正整數(shù)k使得對一切恒成立,如存在求出k值,否則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列,且前項(xiàng)和為.
(1)用表示;
(2)是否存在自然數(shù)和,使得成立?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料,完成數(shù)學(xué)問題.
我校高二文科班的同學(xué)到武昌農(nóng)民運(yùn)動講習(xí)所研學(xué)的途中路過武漢長江大橋邊的武昌長江大堤,同學(xué)們在大堤上看到與武昌隔江相對的漢陽龜山上的電視塔和漢陽江邊的晴川飯店在朝陽的映照下顯得非常美麗,紛紛拿出手機(jī)拍照。這時(shí)帶隊(duì)的老師問大家,我要站在武昌大堤的哪一點(diǎn)才能夠同時(shí)拍下電視塔和晴川飯店最清晰的圖像?聽到這個(gè)問題后,同學(xué)們議論紛紛。討論一會后,一個(gè)同學(xué)對大家說:“把電視塔看成點(diǎn)A,飯店看成點(diǎn)B,武昌大堤看成直線l,C是直線l上的動點(diǎn),拍照最佳點(diǎn)就是直線上使∠ACB最大的點(diǎn).使∠ACB最大的點(diǎn)的求法用初中數(shù)學(xué)的一個(gè)定理:過點(diǎn)A,B作與直線l相切的圓,半徑較小的圓和直線l的切點(diǎn)就是直線l上使∠ACB最大的點(diǎn)!崩蠋熀屯瑢W(xué)們聽了拍手稱對。回到學(xué)校后,一位同學(xué)利用百度地圖測距功能測得點(diǎn)A到直線l距離是2km,點(diǎn)B到直線l距離是1.5km,A,B兩點(diǎn)間的距離是1km.該同學(xué)以直線l為x軸,過A點(diǎn)和直線l垂直的直線為y軸建立了如圖所示的坐標(biāo)系,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)B在第一象限.根據(jù)以上材料,請?jiān)谒o的坐標(biāo)系中,在x軸上求使∠ACB最大的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,過的直線與交于兩點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)當(dāng)與軸垂直時(shí),求直線的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)為圓外一點(diǎn),若圓上存在一點(diǎn),使得,則正數(shù)的取值范圍是____________.
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