Question

【題目】已知數列是首項為2，公比為的等比數列，且前項和為.

（1）用表示；

（2）是否存在自然數和，使得成立？

Answer 1

【答案】（1）Sn＋1＝Sn＋2； （2）見解析.

【解析】

(1)根據題意，得Sn＝4,所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．(2)利用分析法解答，要使不等式＞2成立，只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋) ①成立，要使①成立，c只能取2或3.再討論c=2或3時，是否成立即得解.

(1)根據題意，得Sn＝4.

所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．

(2)要使不等式＞2成立，

只需不等式＜0成立．

因為Sk＝4＜4，

所以Sk－＝2－Sk＞0(k∈N＋)．

故只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋) ①成立．

因為Sk＋1＞Sk(k∈N＋)，

所以Sk－2≥S1－2＝1.

又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.

當c＝2時，因為S1＝2，

所以當k＝1時，c＜Sk不成立．從而①不成立．

當k≥2時，因為S2－2＝＞c，由Sk＜Sk＋1

(k∈N＋)，得Sk－2＜Sk＋1－2.

故當k≥2時， Sk－2＞c.從而①不成立．

當c＝3時，因為S1＝2，S2＝3，

所以當k＝1， k＝2時，c＜Sk不成立．從而①不成立．

因為S3－2＝＞c， Sk－2＜Sk＋1－2，

所以當k≥3時， Sk－2＞c.從而①不成立．

綜上，不存在自然數c和k，使不等式＞2成立．