【題目】如圖,在三棱錐P—ABC中,△PAC為等腰直角三角形,為正三角形,D為A的中點(diǎn),AC=2.
(1)證明:PB⊥AC;
(2)若三棱錐的體積為,求二面角A—PC—B的余弦值
【答案】(1)證明見解析 (2)
【解析】
(1)由題意證得,,從而有平面,則;
(2)設(shè)三棱錐的高為,,根據(jù)體積公式求得,從而平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,又是平面的一個(gè)法向量,根據(jù)公式可得二面角的余弦值為.
(1)證:為等腰直角三角形,為中點(diǎn),,
又為正三角形,為中點(diǎn),,
又,平面,
平面PBD,又平面,
(2)解:設(shè)三棱錐的高為,
,
,
,又平面ABC,
如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,
,,,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則,即,
令,得,,
又是平面的一個(gè)法向量,∴,
由圖可知二面角的平面角為銳角,∴二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)進(jìn)行自主招生測(cè)試,需要對(duì)邏輯思維和閱讀表達(dá)進(jìn)行能力測(cè)試.學(xué)校對(duì)參加測(cè)試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達(dá)成績以及這兩項(xiàng)的總成績進(jìn)行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示,下列敘述正確的是( )
A.甲同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前
B.乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前
C.甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中,甲同學(xué)更靠前
D.甲同學(xué)的總成績排名比丙同學(xué)的總成績排名更靠前
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為:,(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為直角梯形,,,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,,為上一點(diǎn),且.
(1)證明:直線平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司進(jìn)行共享單車的投放與損耗統(tǒng)計(jì),到去年年底單車的市場(chǎng)保有量(已投入市場(chǎng)且能正常使用的單車數(shù)量)為輛,預(yù)計(jì)今后每年新增單車1000輛,隨著單車的頻繁使用,估計(jì)每年將有200輛車的損耗,并且今后若干年內(nèi),年平均損耗在上一年損耗基礎(chǔ)上增加%.
(1)預(yù)計(jì)年底單車的市場(chǎng)保有量是多少?
(2)到哪一年底,市場(chǎng)的單車保有量達(dá)到最多?該年的單車保有量是多少輛(最后結(jié)果精確到整數(shù))?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),,其中m是不等于零的常數(shù).
(1)時(shí),直接寫出的值域;
(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(3)已知函數(shù),,定義:,,,,其中,表示函數(shù)在上的最小值,表示函數(shù)在上的最大值.例如:,,則,,,.當(dāng)時(shí),恒成立,求n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對(duì)稱點(diǎn).
(1)若、且,證明:函數(shù)必有局部對(duì)稱點(diǎn);
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)在上有局部對(duì)稱點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形,一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝木的融合,數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一,而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義.如圖,由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于-種分形,具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形,沿三角形的三邊中點(diǎn)連線,將它分成4個(gè)小三角形,去掉中間的那一個(gè)小三角形后,對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形.
若在圖④中隨機(jī)選。c(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線、的極坐標(biāo)方程;
(2)射線:與曲線,分別交于點(diǎn),(且點(diǎn),均異于原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求的最小值.
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