Question

【題目】已知函數f（x）=2x﹣ （x∈R）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）若2xf（2x）+mf（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，x∈R，

由f（﹣x）=2﹣x﹣ = ﹣2x=﹣f（x），知f（x）是奇函數

（2）解：當x=0時，m∈R．

x∈（0，+∞）時，要使 ≥0，

即 ≥0恒成立，

∵x＞0時，2x﹣ ＞0恒成立，

∴22x+1+m≥0，即m≥﹣（22x+1），

∴m≥﹣（20+1）=﹣2．

綜上，m∈[﹣2，+∞）

【解析】（1）求出函數的定義域為R，再由f（﹣x）=﹣f（x）可得函數f（x）=2x﹣ 為奇函數；（2）由2xf（2x）+mf（x）≥0對任意的x∈[0，+∞）恒成立，可得m≥﹣（22x+1），求出22x+1的最大值得答案．
【考點精析】關于本題考查的函數的奇偶性，需要了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．