如圖,在組合體中,ABCD—A1B1C1D1是一個(gè)長(zhǎng)方體,P—ABCD是一個(gè)四棱錐.AB=2,BC=3,點(diǎn)P平面CC1D1D,且PC=PD=.
(1)證明:PD平面PBC;
(2)求PA與平面ABCD所成的角的正切值;
(3)若,當(dāng)a為何值時(shí),PC//平面.
(1)先證,再證,根據(jù)線面垂直的判定定理可證結(jié)論
(2)(3)當(dāng)時(shí),
或建立空間直角坐標(biāo)系可以用空間向量解決
解析試題分析:方法一:(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/31/2/tjouf.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以為等腰直角三角形,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/60/8/15ypu4.png" style="vertical-align:middle;" />是一個(gè)長(zhǎng)方體,所以,
而,所以,所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/5/1kmwy2.png" style="vertical-align:middle;" />垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和,
由線面垂直的判定定理,可得.
(2)過點(diǎn)在平面作于,連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1c/6/mikdy1.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以就是與平面所成的角.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/14/1/t1qee.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以.
所以與平面所成的角的正切值為.
(3)當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),四邊形是一個(gè)正方形,所以,
而,所以,所以.
而,與在同一個(gè)平面內(nèi),所以.
而,所以,所以.
方法二:(1)證明:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長(zhǎng),
則有,,,.
于是,,,
所以,.
所以垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和,
由線面垂直的判定定理,可得.
(2)解:,所以,而平面的一個(gè)法向量為.
所以.所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC⊥BC.
(1) 求證:平面AB1C1⊥平面AC1;
(2) 若AB1⊥A1C,求線段AC與AA1長(zhǎng)度之比;
(3) 若D是棱CC1的中點(diǎn),問在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使DE∥平面AB1C1?若存在,試確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,斜三棱柱中,側(cè)面底面ABC,側(cè)面是菱形,,E、F分別是、AB的中點(diǎn).
求證:(1)EF∥平面;
(2)平面CEF⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)在直三棱柱(側(cè)棱垂直底面)中,,,且異面直線與所成的角等于.
(Ⅰ)求棱柱的高;
(Ⅱ)求與平面所成的角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在三棱錐中,底面,點(diǎn),分別在棱上,且
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),求與平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形, ,且點(diǎn)滿足 .
(1)證明:平面 .
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,確定點(diǎn)的位置,若不存在請(qǐng)說明理由 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分為10分)
在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ,CB的延長(zhǎng)線交于M;RQ,DB的延長(zhǎng)線交于N;RP,DC的延長(zhǎng)線交于K,求證:M、N、K三點(diǎn)共線.
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