【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）討論極值點的個數(shù)；

（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：.

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析

【解析】

（I）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對分成四種情況進(jìn)行分類討論，根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，判斷出極值點的個數(shù).

（II）首先結(jié)合（I）以及判斷出，且，由此求得的表達(dá)式，利用這個表達(dá)的導(dǎo)數(shù)求得最大值為，由此證得.

（Ⅰ）的定義域為，，

①若，則，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上遞減，在遞增.

所以為唯一的極小值點，無極大值，

故此時有一個極值點.

②若，令，

則，，

當(dāng)時，，

則當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

所以－2，分別為的極大值點和極小值點，

故此時有2個極值點.

當(dāng)時，，

且不恒為0，

此時在上單調(diào)遞增，

無極值點

當(dāng)時，，

則當(dāng)時，；當(dāng)時，

；當(dāng)時，.

所以，－2分別為的極大值點和極小值點，

故此時有2個極值點.

綜上，當(dāng)時，無極值點；

當(dāng)時，有1個極值點；

當(dāng)或時，有2個極值點.

（Ⅱ）證明：若是的一個極值點，

由（Ⅰ）可知，

又，所以，

且，則，

所以.

令，則，

所以，

故

又因為，所以，令，得.

當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

所以是唯一的極大值點，也是最大值點，

即，

故，即.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．

（1）求的值；

（2）動點在拋物線的準(zhǔn)線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設(shè)．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】移動支付（支付寶及微信支付）已經(jīng)漸漸成為人們購物消費的一種支付方式，為調(diào)查市民使用移動支付的年齡結(jié)構(gòu)，隨機對100位市民做問卷調(diào)查得到列聯(lián)表如下：

（1）將上列聯(lián)表補充完整，并請說明在犯錯誤的概率不超過0．10的前提下，認(rèn)為支付方式與年齡是否有關(guān)？

（2）在使用移動支付的人群中采用分層抽樣的方式抽取10人做進(jìn)一步的問卷調(diào)查，從這10人隨機中選出3人頒發(fā)參與獎勵，設(shè)年齡都低于35歲（含35歲）的人數(shù)為，求的分布列及期望．

（參考公式：（其中）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在銳角中，角的對邊分別為，.

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）討論極值點的個數(shù)；

（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若橢圓的左焦點為，過點的直線與橢圓交于兩點，則在軸上是否存在一個定點使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點與橢圓右焦點的連線垂直于軸，過橢圓上一點的直線與橢圓交于兩點（均不在坐標(biāo)軸上），設(shè)為坐標(biāo)原點，過的射線與橢圓交于點．

（1）若，求實數(shù)的值；

（2）當(dāng)為時，若四邊形的面積為12，試求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，且圓過橢圓的上，下頂點.

（1）求橢圓的方程.

（2）若直線的斜率為，且直線交橢圓于、兩點，點關(guān)于點的對稱點為，點是橢圓上一點，判斷直線與的斜率之和是否為定值，如果是，請求出此定值：如果不是，請說明理.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案