已知A(-2,0),B(2,0),點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上運(yùn)動(dòng),則|PA|2+|PB|2的最小值是 .
【答案】
分析:由點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),設(shè)P(a,b),則|PA|
2+|PB|
2=2a
2+2b
2+8,由點(diǎn)P在圓(x-3)
2+(y-4)
2=4上運(yùn)動(dòng),通過三角代換,化簡(jiǎn)|PA|
2+|PB|
2為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式,然后求出最小值.
解答:解:∵點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),
設(shè)P(a,b),則|PA|
2+|PB|
2=2a
2+2b
2+8,
由點(diǎn)P在圓(x-3)
2+(y-4)
2=4上運(yùn)動(dòng),
(a-3)
2+(b-4)
2=4
令a=3+2cosα,b=4+2sinα,
所以|PA|
2+|PB|
2=2a
2+2b
2+8
=2(3+2cosα)
2+2(4+2sinα)
2+8
=66+24cosα+32sinα
=66+40sin(α+φ),(tanφ=
).
所以|PA|
2+|PB|
2≥26.當(dāng)且僅當(dāng)sin(α+φ)=-1時(shí),取得最小值.
∴|PA|
2+|PB|
2的最小值為26.
故答案為:26.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線的一般式方程與兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用,具體涉及到直線方程秘圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.