已知A(2,0),B(0,1)為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的兩點(diǎn),P(x,y)為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
( I)求橢圓C的方程;
( II)將|OP|表示為x的函數(shù),并求|OP|的取值范圍.
分析:(I)根據(jù)題設(shè)中的兩個(gè)交點(diǎn)可知,兩點(diǎn)為橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),即上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),進(jìn)而可求得橢圓方程中的a和b,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得.
(II)由點(diǎn)P(x,y)在橢圓C上,可得
x2
4
+y2=1
,且0≤x2≤4,利用兩點(diǎn)間的距離公式將|OP|表示為x的函數(shù),最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其范圍.
解答:解:( I)由題意可知 a=2,b=1,---------(2分)
所以,橢圓的方程為
x2
4
+y2=1
.---------(4分)
( II)由點(diǎn)P(x,y)在橢圓C上,可得
x2
4
+y2=1
,且0≤x2≤4.---------(6分)
|OP|=
x2+y2
=
x2+1-
x2
4
=
1+
3x2
4
,--------(8分)
因?yàn)?span id="s0siowk" class="MathJye">0≤
3x2
4
≤3,可得1≤1+
3x2
4
≤4
,所以1≤|OP|≤2,
故|OP|的取值范圍為[1,2].---------(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查函數(shù)的思想.屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,已知A(-
2
,0),B(
2
,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心為H,且
CD
=2
CH

(Ⅰ)求點(diǎn)H的軌跡方程;
(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)E于不同的兩點(diǎn)G,H(點(diǎn)G在F,H之間),且滿(mǎn)足
FG
FH
,求λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A(-2,0),B(2,0)為橢圓C的左右頂點(diǎn),F(xiàn)(1,0)為其右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P(不同于A,B),與橢圓在點(diǎn)B處的切線(xiàn)交于點(diǎn)D.當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),試判斷以BD為直徑的圓與直線(xiàn)PF的位置關(guān)系,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα),且α∈(0,π).
(1)若|
OA
+
OC
|=
7
,求
OB
OC
的夾角
的余弦值.
(2)若
AC
BC
,求tanα的值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知A(-2,0),B(2,0),等腰梯形ABCD滿(mǎn)足|AB|=-2|CD|,E為AC上一點(diǎn),且
AE
EC
.又以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)過(guò)C、D、E三點(diǎn).若λ∈[
2
3
,
3
4
]
,則雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知A(2,0),B(3,3),直線(xiàn)l⊥AB,則直線(xiàn)l的斜率k=( 。
A、-3
B、3
C、-
1
3
D、
1
3

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