Question

在平面直角坐標(biāo)系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），（0＜x＜

π

2

），f(x)=

AB

•

AC

．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)A和B的坐標(biāo)分別表示出

AB

和

AC

，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡f(x)=

AB

•

AC

后，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把f（x）化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)第一問求出的f（x）的解析式，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的最小正周期，然后根據(jù)x的范圍求出2x-

π

4

的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得到sin（2x-

π

4

）的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

.

AB

=  (-2，2)，

.

AC

=(cos2x-2，sin2x)，
∴f(x)= 

.

AB•

.

AC

 =(-2，2)•(cos2x-2，sin2x)
=4-2cos2x+2sin2x
=2

2

sin(2x-

π

4

)+4；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2

2

sin(2x-

π

4

)+4，
所以f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
∵0＜X＜

π

2

∴-

π

4

＜2X-

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜sin(2x-

π

4

)≤1，
∴2＜f(x)≤4+2

2

，
所以函數(shù)f（x）的值域是(2，4+2

2

]．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡求值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，掌握正弦函數(shù)的周期公式及正弦函數(shù)的值域，是一道綜合題．