Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）． （Ⅰ）設(shè) ，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）設(shè) ，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2，已知b＞3時(shí)存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0．若g（x）=0有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，f（x）=2x+2﹣x=2x+ ，

令f（x）=2，即2x+ =2，∴（2x）2﹣2×2x+1=0，

即（2x﹣1）2=0，∴2x=1，

解得：x=0．

（Ⅱ）當(dāng)b=3時(shí)，g（x）=3x+ ﹣2≥2﹣2=0，

當(dāng)且僅當(dāng) =3x即x=0時(shí)取等號(hào)，

∴x=0是g（x）的唯一的零點(diǎn)，符合題意．

當(dāng)b＞3時(shí)， ，

顯然x=0是g（x）的一個(gè)零點(diǎn)，

∵當(dāng)b＞3時(shí)存在x0∈（﹣1，0）使得g（x0）＜0，且g（﹣2）＞0，

∴g（x）在（﹣2，x0）必存在另一零點(diǎn)，

此時(shí)，g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

綜上可得b=3．

【解析】（I）直接解方程即可得出；（II）對(duì)b=3和b＞3分情況討論，利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否唯一．