【題目】
已知函數(shù)f(x)=-bx+lnx(a,b∈R).
(Ⅰ)若a=b=1,求f(x)點(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)a<0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)a<0,且對任意的x>0,f(x)≤f(2),試比較ln(-a)與-2b的大小.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;(Ⅲ).
【解析】
試題(Ⅰ)時,對函數(shù)求導,由導數(shù)的幾何意義,可得切線的斜率,由點斜式可得切線方程;(Ⅱ)對函數(shù)求導,當時,,得,由,得.顯然,,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可得其單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)要比較ln(-a)與-2b的大小可用作差法,由(Ⅱ)知,是的唯一的極大值點,由f(x)≤f(2),知函數(shù)在處取得最大值,可得,即,
構(gòu)造函數(shù),求導可得.令,得,
當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減,是的最大值,即≤,進而得,即證.
試題解析:(Ⅰ)時,,, 1分
∴,, 2分
故點處的切線方程是. 3分
(Ⅱ)由,得. 4分
當時,,得,由,
得. 顯然,,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,
∴的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是. 8分
(Ⅲ)由題意知函數(shù)在處取得最大值.由(Ⅱ)知,是的唯一的極大值點,
故,整理得. 9分
于是
令,則.令,得,
當時,,單調(diào)遞增;
當時,,單調(diào)遞減. 10分
因此對任意,≤,又,
故,即,即,
∴. 12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某中學根據(jù)學生的興趣愛好,分別創(chuàng)建了“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團,據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功與否相互獨立.2015年某新生入學,假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“書法”、“詩詞”、“理學”三個社團的概率依次為、、,己知三個社團他都能進入的概率為,至少進入一個社團的概率為,且.
(1)求與的值;
(2)該校根據(jù)三個社團活動安排情況,對進入“書法”社的同學增加校本選修學分1分,對進入“詩詞”社的同學增加校本選修學分2分,對進入“理學”社的同學增加校本選修學分3分.求該新同學在社團方面獲得校本選修課學分分數(shù)不低于4分的概率.
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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足(其中, 為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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【題目】2013年華人數(shù)學家張益唐證明了孿生素數(shù)猜想的一個弱化形式。孿生素數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個素數(shù)p,使得p+2是素數(shù),素數(shù)對(p,p+2)稱為孿生素數(shù).在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其中能夠組成孿生素數(shù)的概率是
A. B. C. D.
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【題目】雙曲線C:的左、右焦點為F1,F2,直線yb與C的右支相交于點P,若|PF1|=2|PF2|,則雙曲線C的離心率為_____;若該雙曲線的焦點到其漸近線的距離是,則雙曲線的方程為_____.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,討論的單調(diào)性;
(2)若,且對于函數(shù)的圖象上兩點, ,存在,使得函數(shù)的圖象在處的切線.求證;.
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【題目】海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍洞,若要測量如圖所示的藍洞的口徑,兩點間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點,,測得,,,,則,兩點的距離為___.
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【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為梯形, ,且, 是邊長為2的正三角形,頂點在上的射影為點,且, , .
(1)證明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,點是圓弧上的一動點(不與重合),點是圓弧的中點,且點在平面的兩側(cè).
(1)證明:平面平面;
(2)設(shè)點在平面上的射影為點,點分別是和的重心,當三棱錐體積最大時,回答下列問題.
(。┳C明:平面;
(ⅱ)求平面與平面所成二面角的正弦值.
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