【題目】已知函數.
(1)若,討論的單調性;
(2)若,且對于函數的圖象上兩點, ,存在,使得函數的圖象在處的切線.求證;.
【答案】(1)見解析(2)見證明
【解析】
(1)對函數求導,分別討論,以及,即可得出結果;
(2)根據題意,由導數幾何意義得到,將證明轉化為證明即可,再令,設 ,用導數方法判斷出的單調性,進而可得出結論成立.
(1)解:易得,函數的定義域為,
,
令,得或.
①當時,時,,函數單調遞減;
時,,函數單調遞增.
此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.
②當時,時,,函數單調遞減;
或時,,函數單調遞增.
此時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為,.
③當時,時,,函數單調遞增;
此時,的減區(qū)間為.
綜上,當時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為:
當時,的減區(qū)間為,增區(qū)間為.;
當時,增區(qū)間為.
(2)證明:由題意及導數的幾何意義,得
由(1)中得.
易知,導函數 在上為增函數,
所以,要證,只要證,
即,即證.
因為,不妨令,則 .
所以 ,
所以在上為增函數,
所以,即,
所以,即,
即.
故有(得證).
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點分別為,,若橢圓經過點,且的面積為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)設斜率為的直線與以原點為圓心,半徑為的圓交于,兩點,與橢圓交于,兩點,且,當取得最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】用五種不同顏色(顏色可以不全用完)給三棱柱的六個頂點涂色,要求每個點涂一種顏色,且每條棱的兩個端點涂不同顏色,則不同的涂色種數有( )
A. B. C. D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】第18屆國際籃聯籃球世界杯將于2019年8月31日至9月15日在中國北京、廣州等八座城市舉行.屆時,甲、乙、丙、丁四名籃球世界杯志愿者將隨機分到、、三個不同的崗位服務,每個崗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率;
(2)設隨機變量為這四名志愿者中參加崗位服務的人數,求的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】國家規(guī)定,疫苗在上市前必須經過嚴格的檢測,并通過臨床實驗獲得相關數據,以保證疫苗使用的安全和有效.某生物制品硏究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗,得到統(tǒng)計數據如下:
未感染病毒 | 感染病毒 | 總計 | |
未注射疫苗 | 40 | p | x |
注射疫苗 | 60 | q | y |
總計 | 100 | 100 | 200 |
現從未注射疫苗的小白鼠中任取1只,取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.
(1)求列聯表中的數據p,q,,的值;
(2)能否有把握認為注射此種疫苗有效?
(3)在感染病毒的小白鼠中,按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病例分析,然后從這五只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗情況進行核實,求至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的概率. 附:.
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構成,小正方形數越多刺繡越漂亮,現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形.
(1) 求出,,并猜測的表達式;
(2) 求證:+++…+.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】2017年被稱為“新高考元年”,隨著上海、浙江兩地順利實施“語數外+3”新高考方案,新一輪的高考改革還將繼續(xù)在全國推進。遼寧地區(qū)也將于2020年開啟新高考模式,今年秋季入學 的高一新生將面臨從物理、化學、生物、政治、歷史、地理等6科中任選三科(共20種選法)作為 自己將來高考“語數外+3 ”新高考方案中的“3”。某地區(qū)為了順利迎接新高考改革,在某學校理科班的200名學生中進行了“學生模擬選科數據”調查,每個學生只能從表格中的20種課程 組合選擇一種學習。模擬選課數據統(tǒng)計如下表:
序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
組合學科 | 物化生 | 物化政 | 物化歷 | 物化地 | 物生政 | 物生歷 | 物生地 |
人數 | 20人 | 5人 | 10人 | 10人 | 10人 | 15人 | 10人 |
序號 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
組合學科 | 物政歷 | 物政地 | 物歷地 | 化生政 | 化生歷 | 化生地 | 化政歷 |
人數 | 5人 | 0人 | 5人 | ... | 40人 | ... | ... |
序號 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
組合學科 | 化政地 | 化歷地 | 生政歷 | 生政地 | 生歷地 | 政歷地 | 總計 |
人數 | ... | ... | ... | ... | ... | ... | 200人 |
為了解學生成績與學生模擬選課情之間的關系,用分層抽樣的方法從這200名學生中抽取40人的樣本進行分析.
(1)樣本中選擇組合12號“化生歷”的有多少人?樣本中選擇學習物理的有多少人?
(2)從樣本選擇學習地理且學習物理的學生中隨機抽取3人,求這3人中至少有1人還要學習生物的概率;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240,160,160.現采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參加獻愛心活動.
(Ⅰ)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人?
(Ⅱ)設抽出的7名同學分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現從中隨機抽取2名同學承擔敬老院的衛(wèi)生工作.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果;
(ii)設M為事件“抽取的2名同學來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率.
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