【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,若橢圓經(jīng)過點(diǎn),且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓交于,兩點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn),且,當(dāng)取得最小值時(shí),求直線的方程.
【答案】(1);(2)最小值,直線的方程為.
【解析】試題分析:(1)由三角形的面積,即可求得c=2,將點(diǎn)代入橢圓方程,由橢圓的性質(zhì)a2=b2+c2,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)直線的方程為,則原點(diǎn)到直線的距離,由弦長公式可得.將代入橢圓方程,得,得.可得.可得所求結(jié)論.
試題解析:(1)由的面積可得,即,∴.①
又橢圓過點(diǎn),∴.②
由①②解得,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,則原點(diǎn)到直線的距離,
由弦長公式可得.
將代入橢圓方程,得,
由判別式,解得.
由直線和圓相交的條件可得,即,也即,
綜上可得的取值范圍是.
設(shè),,則,,
由弦長公式,得.
由,得.
∵,∴,則當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí)直線的方程為.
點(diǎn)睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問題,弦長問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)求的值.
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值,及相應(yīng)的的值.
(Ⅲ)求函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓: 的離心率為,過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn), .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn), 不重合,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),求證:以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn).
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【題目】為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè),某村計(jì)劃對現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造,已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧,頂點(diǎn)為水渠最底端(如圖),渠寬為4m,渠深為2m.
(1)考慮到農(nóng)村耕地面積的減少,為節(jié)約水資源,要減少水渠的過水量,在原水渠內(nèi)填土,使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(1)建立平面直角坐標(biāo)系),新水渠底面與地面平行(不改變渠寬),問新水渠底寬為多少時(shí),所填土的土方量最少?
(2)考慮到新建果園的灌溉需求,要增大水渠的過水量,現(xiàn)把舊水渠改挖(不能填土)成橫斷面為等腰梯形的新水渠(如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系),使水渠的底面與地面平行(不改變渠深),要使所挖土的土方量最少,請你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬,并求出這個(gè)底寬.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著我國經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,民用汽車的保有量也迅速增長.機(jī)動(dòng)車保有量的發(fā)展影響到環(huán)境質(zhì)量、交通安全、道路建設(shè)等諸多方面.在我國,尤其是大中型城市,機(jī)動(dòng)車已成為城市空氣污染的重要來源.因此,合理預(yù)測機(jī)動(dòng)車保有量是未來進(jìn)行機(jī)動(dòng)車污染防治規(guī)劃、道路發(fā)展規(guī)劃等的重要前提.從2012年到2016年,根據(jù)“云南省某市國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)”中公布的數(shù)據(jù),該市機(jī)動(dòng)車保有量數(shù)據(jù)如表所示.
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
機(jī)動(dòng)車保有量(萬輛) | 169 | 181 | 196 | 215 | 230 |
(1)在圖所給的坐標(biāo)系中作出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖;
(2)建立機(jī)動(dòng)車保有量關(guān)于年份代碼的回歸方程;
(3)按照當(dāng)前的變化趨勢,預(yù)測2017年該市機(jī)動(dòng)車保有量.
附注:回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
, .
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知橢圓: ()的離心率為,右焦點(diǎn)為,斜率為1的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),以為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求△的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某單位最近組織了一次健身活動(dòng),活動(dòng)分為登山組和游泳組,且每個(gè)職工至多參加其中一組.在參加活動(dòng)的職工中,青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山組的職工占參加活動(dòng)總?cè)藬?shù)的,且該組中青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動(dòng)的滿意程度,現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為200的樣本.試確定:
(1)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別所占的比例;
(2)游泳組中,青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù).
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