在五棱錐P-ABCDE中,PA=AB=AE=4a,PB=PE=a,BC=DE=2a,∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.(1)若中點,求證:平面.
(2)求二面角A-PD-E的正弦值;(3)求點C到平面PDE的距離.
(1)見解析
(2)二面角A-PD-E的正弦值為
(3) a

(1)∵∠AED=90°,∴AEED.∵PA⊥平面ABCDE,∴PAED.∴ED⊥平面PAE,所以DEAG。中點,所以AGPE,DEPE=E,AG⊥平面PDE ………………………(4分)
(2)∵∠AED=90°,∴AEED
PA⊥平面ABCDE,∴PAED.∴ED⊥平面PAE
AAGPEG,過DEAG,∴AG⊥平面PDE.過GGHPDH,連AH,
由三垂線定理得AHPD.∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角.
在直角△PAE中,AG=2a.在直角△PAD中,AHa
∴在直角△AHG中,sin∠AHG
∴二面角A-PD-E的正弦值為.       …………………………………………..( 8分)
(3)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a,
AE中點F,連CF,∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形.
CFAB,而ABDE,∴CFDE,而DE平面PDECF平面PDE,
CF∥平面PDE.∴點C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離.
PA⊥平面ABCDE,∴PADE
又∵DEAE,∴DE⊥平面PAE.∴平面PAE⊥平面PDE
∴過F作FG⊥PE于G,則FG⊥平面PDE.∴FG的長即F點到平面PDE的距離.在△PAE中,PA=AE=4a,F(xiàn)為AE中點,F(xiàn)G⊥PE,  
∴FG=a. ∴點C到平面PDE的距離為a.(或用等體積法求)…………(12分)
練習冊系列答案
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(1)求證:
(2)求證:                     
(3)求
 

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(2)求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.

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在正方體
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