Question

（本小題滿(mǎn)分14分）
已知?jiǎng)訄AP（圓心為點(diǎn)P）過(guò)定點(diǎn)A（1，0），且與直線(xiàn)相切。記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C。
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切，且與直線(xiàn)相交于點(diǎn)Q。試研究：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）x軸上存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)閯?dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（1，0），且與直線(xiàn)x=－1相切，
所以圓心P到點(diǎn)A（1，0）的距離與到直線(xiàn)x=－1的距離相等。
根據(jù)拋物線(xiàn)定義，知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為拋物線(xiàn)，且方程為C：。       4分
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，（易知斜率不存在的直線(xiàn)不符合要求）
由，消去y得，
由題意，得k≠0，且，化簡(jiǎn)得km=1。       6分
設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相切的切點(diǎn)P（x₀，y₀），
則
所以，
由。                                    8分
若取k=1，m=1，此時(shí)P（1，2），Q（－1，0），以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)M₁（1，0），M₂（－1，0）；
若取，此時(shí)以PQ為直徑的圓為
，交x軸于點(diǎn)M₃（1，0），M₄。
所以若符合條件的點(diǎn)M存在，則點(diǎn)M的坐標(biāo)必為（1，0）。（即為點(diǎn)A）     10分
以下證明M（1，0）就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)。
因?yàn)镸的坐標(biāo)為（1，0），
所以，                                11分
從而，
故恒有,
即在x軸上存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M。          14分
點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)用定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是圓錐曲線(xiàn)題目經(jīng)常出現(xiàn)的類(lèi)型，第二問(wèn)證明動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)先通過(guò)兩個(gè)特殊圓找到過(guò)的定點(diǎn)，進(jìn)而證明此點(diǎn)在任意的以PQ為直徑的圓上