Question

某環(huán)保部門對(duì)某處的環(huán)境情況用“污染指數(shù)”來監(jiān)測，據(jù)測定，該處的“污染指數(shù)”與附近污染源的強(qiáng)度和距離之比成正比，比例常數(shù)為k（k＞0）．現(xiàn)已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)1，a，它們連線上任意一點(diǎn)C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和．設(shè)AC=x（km）．
（1）試將y表示為x的函數(shù)，指出其定義域；
（2）當(dāng)x=6時(shí)，C處“污染指數(shù)”最小，試求B化工廠的污染強(qiáng)度a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為

k

x

，點(diǎn)C受B污染源污染程度為

ka

36-x

，其中k為比例系數(shù)，且k＞0，則點(diǎn)C處受污染程度是二者之和；
（2）因?yàn)閥=

k

x

+

ka

36-x

，所以y′=k[-

1

x2

+

a

(36-x)2

]，令y′=0，x=6，得a=25．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染程度為

k

x

，點(diǎn)C受B污染源污染程度為

ka

36-x

，其中k為比例系數(shù)，且k＞0．
從而點(diǎn)C處受污染程度y=

k

x

+

ka

36-x

．
（2）因?yàn)閥=

k

x

+

ka

36-x

，所以y′=k[-

1

x2

+

a

(36-x)2

]，
令y′=0，x=6，得a=25，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．
所以，B化工廠的污染強(qiáng)度a的值為25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正比例，反比例函數(shù)模型的應(yīng)用，并且考查了利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值問題；解題時(shí)要細(xì)心審題，列出函數(shù)解析式，并做出正確解答．