【題目】已知?jiǎng)訄A恒過(guò)點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于， 兩點(diǎn)，直線， （為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)， ，證明：以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為定值.

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）分析題意，由拋物線的定義，可知圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線，且，圓心C的軌跡方程為；（2）設(shè)，由A,P,B三點(diǎn)共線，求出，以MN為直徑的圓的方程為，化簡(jiǎn)得，令，求出的值，求出弦長(zhǎng)。

試題解析：

（1）由題意得，點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)到直線的距離.

因此由拋物線的定義，可知圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線的拋物線.

所以，即.

所以圓心的軌跡方程為.

（2）由圓心的軌跡方程為，

可設(shè)， ， ，

則， ，

由， ， 三點(diǎn)共線，可知，

即.

因?yàn)?/span>，所以.

又依題得，直線的方程為.

令，得.

同理可知.

因此以為直徑的圓的方程可設(shè)為.

化簡(jiǎn)得，

即.

將代入上式，可知，

在上式中令，可知， ，

因此以為直徑的圓被軸截得的弦長(zhǎng)為，為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在中，且，邊上的中線長(zhǎng)為，則的面積是____．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式分別為， ， ， ，有以下結(jié)論：

①當(dāng)時(shí)，甲走在最前面；

②當(dāng)時(shí)，乙走在最前面；

③當(dāng)時(shí),丁走在最前面，當(dāng)時(shí)，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲．

其中，正確結(jié)論的序號(hào)為 （把正確結(jié)論的序號(hào)都填上,多填或少填均不得分）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是一幾何體的平面展開(kāi)圖，其中四邊形ABCD為矩形，E，F分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面4個(gè)結(jié)論：

直線BE與直線CF異面；直線BE與直線AF異面；直線平面PBC；平面平面PAD．

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為　　

A. 4個(gè)

B. 3個(gè)

C. 2個(gè)

D. 1個(gè)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，E是PC的中點(diǎn)，，PA=AC=1．

（1）求證：AE⊥PB;

（2）求三棱錐C-ABE的體積.

（3）求二面角A-PB-C的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”．

（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；

（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）已知函數(shù)，．對(duì)任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的是（ ）

A.若，則一定是銳角三角形

B.若，則一定是等邊三角形

C.若，則一定是等腰三角形

D.若，則一定是等腰三角形

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案