【題目】己知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x+1)為奇函數(shù),f(0)=0,當x∈(0,1]時,f(x)=log2x,則在區(qū)間(8,9)內滿足方f(x)程f(x)+2=f( )的實數(shù)x為 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f(x+1)為奇函數(shù),即f(x+1)=﹣f(﹣x+1),即f(x)=﹣f(2﹣x). 當x∈(1,2)時,2﹣x∈(0,1),∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣log2(2﹣x).
又f(x)為偶函數(shù),即f(x)=f(﹣x),于是f(﹣x)=﹣f(﹣x+2),
即f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4),故 f(x)是以4為周期的函數(shù).
∵f(1)=0,∴當8<x≤9時,0<x﹣8≤1,f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).
由f( )=﹣1,f(x)+2=f( )可化為log2(x﹣8)+2=﹣1,得x= .
故選:D.
由f(x+1)為奇函數(shù),可得f(x)=﹣f(2﹣x).由f(x)為偶函數(shù)可得f(x)=f(x+4),故 f(x)是以4為周期的函數(shù).當8<x≤9時,求得f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8).由log2(x﹣8)+2=﹣1得x的值.
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【題目】在極坐標系中,已知直線l的極坐標方程 為ρsin(θ+ )=1,圓C的圓心是C(1, ),半徑為1,求:
(1)圓C的極坐標方程;
(2)直線l被圓C所截得的弦長.
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【題目】定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導,即f′(x)存在,且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的存在二階導數(shù),記作f″(x)=[f′(x)]′. 定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正,即f″(x)>0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3﹣ x2+1在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是 .
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD 都是邊長為2的等邊三角形,E 是BC的中點.
(Ⅰ)證明:平面AE∥平面 PCD;
(Ⅱ)求PAB與平面 PCD 所成二面角的大。
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【題目】在四邊形ABCD中(如圖①),AB∥CD,AB⊥BC,G為AD上一點,且AB=AG=1,GD=CD=2,M為GC的中點,點P為邊BC上的點,且滿足BP=2PC.現(xiàn)沿GC折疊使平面GCD⊥平面ABCG(如圖②).
(1)求證:平面BGD⊥平面GCD:
(2)求直線PM與平面BGD所成角的正弦值.
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【題目】如圖長方體ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為1,側棱長為2,E、F、G分別為CB1、CD1、AB的中點.
(Ⅰ)求證:FG∥面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣C的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= sin2x﹣2cos2x﹣1,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最小值;
(Ⅱ)在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知c= ,f(C)=0,sinB=2sinA,求a,b的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+ )的圖象與x軸交點的橫坐標,依次構成一個公差為 的等差數(shù)列,把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則( )
A.g(x)是奇函數(shù)
B.g(x)的圖象關于直線x=﹣ 對稱
C.g(x)在[ , ]上的增函數(shù)
D.當x∈[ , ]時,g(x)的值域是[﹣2,1]
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知曲線C: =1,以平面直角坐標系xOy的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線l:ρ(cosθ﹣2sinθ)=6.
(Ⅰ)寫出直線l的直角坐標方程和曲線C的參數(shù)方程;
(Ⅱ)在曲線C上求一點P,使點P到直線l的距離最大,并求出此最大值.
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