Question

（本題滿分14分）已知四邊形滿足∥，，是的中點(diǎn)，將沿著翻折成，使面面，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求四棱錐的體積；（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)連接，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/48/a/1m0od4.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為等邊三角形，
所以，
又因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ee/d/xuqry.png" style="vertical-align:middle;" />面，所以面，                       ……2分
所以四棱錐的體積              ……5分

（Ⅱ）連接交于，連接，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8b/3/jlsh52.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，所以，
又為的中點(diǎn)，所以∥，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/a/1mocm2.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以∥面.                                                  ……9分
（Ⅲ）連接，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則
,
                                 ……10分
設(shè)面的法向量，則，
令，則.
設(shè)面的法向量為，則，
令，則.                                        ……12分
則所以二面角的余弦值為       ……14分
考點(diǎn)：本小題主要考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定和證明，考查椎體體積公式的應(yīng)用和二面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評(píng)：解答立體幾何的證明題，要把定理需要的條件意義列出來，缺一不可；求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.