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【題目】已知圓內一點,點為圓上任意一點,線段的垂直平分線與線段連線交于點.

1)求點的軌跡方程;

2)設點的軌跡為曲線,過點的直線與曲線交于不同的兩點、,求的內切圓半徑的最大值.

【答案】1;(2

【解析】

1)根據線段中垂線的性質可得,|MP||MQ|,又|MQ||M|4,故有|M||MP|4|P|,根據橢圓的定義判斷軌跡橢圓,求出值,即得橢圓的標準方程;

2)設,,設的內切圓的半徑為,當最大,就最大,利用直線和橢圓的位置關系求出最大值,進而可得的最大值.

1)由圓的方程可知,圓心10),半徑等于4,設點M的坐標為,
PQ的垂直平分線交QM
|MP||MQ|
|MQ||M|4(半徑),
|M||MP|4|A|2
∴點M滿足橢圓的定義,且24,22
2,1,
,
∴點M的軌跡方程為

2)設,,設的內切圓的半徑為,因為的周長為,,因此最大,就最大,

,由題意知,直線的斜率不為零,可設直線的方程為,

所以,,

又因直線與橢圓交于不同的兩點,故,即,,則,

,則,

,令

由函數的性質可知,函數上是單調遞增函數,即當時,上單調遞增,因此有,所以

即當,時,最大,此時,故當直線的方程為時,內切圓半徑的最大值為.

練習冊系列答案
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