【題目】在四面體A-BCD中,有兩條棱的長為,其余棱的長度都為1;
(1)若,且,求二面角A-BC-D的余弦值;
(2)求a的取值范圍,使得這樣的四面體是存在的;
【答案】(1);(2)0<a;
【解析】
(1)由題意畫出圖形,作出二面角的平面角,利用余弦定理得答案;
(2)分兩條長為a的棱相交與兩條長為a的棱互為對棱分析,結(jié)合運(yùn)動思想與極限思想求得每一種情況的a的范圍,最后取并集得答案.
(1)如圖,
過A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,則∠AED為二面角A﹣BC﹣D的平面角,
在等邊三角形BCD中,∵BC=CD=BD=1,∴DE,
在等腰三角形ABC中,∵AB=AC,BC=1,∴AE.
在△AED中,由余弦定理得cos∠AED;
(2)當(dāng)兩條長為a的棱相交時,不妨設(shè)AB=AC=a,AD=BD=CD=BC=1,
∵面ABC與平面BCD重合且A,D在BC異側(cè)時,AE,此時AB=AC,
面ABC與平面BCD重合且A,D在BC同側(cè)時,AE=1,此時AB=AC.
∴;
當(dāng)兩條長為a的棱互為對棱時,不妨設(shè)BC=AD=a,AB=AC=BD=CD=1,BC,AD可以無限趨近于0,
當(dāng)ABCD為平面四邊形時a,
∴0.
綜上,若四面體存在,則0<a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線與線段連線交于點(diǎn).
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、,求的內(nèi)切圓半徑的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠有甲,乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,,甲車間有工人人,乙車間有工人人,為比較兩個車間工人的生產(chǎn)效率,采用分層抽樣的方法抽取工人,甲車間抽取的工人記作第一組,乙車間抽取的工人記作第二組,并對他們中每位工人生產(chǎn)完成的一件產(chǎn)品的事件(單位:)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),按照進(jìn)行分組,得到下列統(tǒng)計(jì)圖.
分別估算兩個車間工人中,生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間少于的人數(shù)
分別估計(jì)兩個車間工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品時間的平均值,并推測車哪個車間工人的生產(chǎn)效率更高?
從第一組生產(chǎn)時間少于的工人中隨機(jī)抽取人,記抽取的生產(chǎn)時間少于的工人人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A. 在回歸模型中,預(yù)報(bào)變量的值不能由解釋變量唯一確定
B. 若變量,滿足關(guān)系,且變量與正相關(guān),則與也正相關(guān)
C. 在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄,其模型擬合的精度越高
D. 以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出回歸方程,設(shè),將其變換后得到線性方程,則,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是圓柱的一條母線,已知BC過底面圓的圓心O,D是圓O上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn),:
(1)求直線AC與平面ABD所成角的大;
(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離;
(3)將四面體ABCD繞母線AB旋轉(zhuǎn)一周,求由旋轉(zhuǎn)而成的封閉幾何體的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高速公路隧道設(shè)計(jì)為單向三車道,每條車道寬4米,要求通行車輛限高5米,隧道全長1.5千米,隧道的斷面輪廓線近似地看成半個橢圓形狀(如圖所示).
(1)若最大拱高為6米,則隧道設(shè)計(jì)的拱寬至少是多少米?(結(jié)果取整數(shù))
(2)如何設(shè)計(jì)拱高和拱寬,才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最?(結(jié)果取整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,橢圓的面積公式為,其中,分別為橢圓的長半軸和短半軸長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)絡(luò)營銷部門為了統(tǒng)計(jì)某市網(wǎng)友某日在某淘寶店的網(wǎng)購情況,隨機(jī)抽查了該市當(dāng)天名網(wǎng)友的網(wǎng)購金額情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表(如圖).
網(wǎng)購金額(單位:千元) | 頻數(shù) | 頻率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若網(wǎng)購金額超過千元的顧客定義為“網(wǎng)購達(dá)人”,網(wǎng)購金額不超過千元的顧客定義為“非網(wǎng)購達(dá)人”,已知“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”人數(shù)比恰好為.
(Ⅰ)試確定的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖(如圖);
(Ⅱ)該營銷部門為了進(jìn)一步了解這名網(wǎng)友的購物體驗(yàn),從“非網(wǎng)購達(dá)人”與“網(wǎng)購達(dá)人”中用分層抽樣的方法抽取人,若需從這人中隨機(jī)選取人進(jìn)行問卷調(diào)查.設(shè)為選取的人中“網(wǎng)購達(dá)人”的人數(shù),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,是邊長為4的正三角形, ,分別為的中點(diǎn),且.
(1)證明:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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