【題目】在平面直角坐標系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1,記點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設斜率為k的直線l過定點P(﹣2,1),求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍.

【答案】
(1)解:設M(x,y),依題意得:|MF|=|x|+1,即

化簡得,y2=2|x|+2x.

∴點M的軌跡C的方程為 ;


(2)解:在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).

依題意,可設直線l的方程為y﹣1=k(x+2).

由方程組 ,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0.

①當k=0時,此時y=1,把y=1代入軌跡C的方程,得

故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點( ).

②當k≠0時,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判別式為△=﹣16(2k2+k﹣1).

設直線l與x軸的交點為(x0,0),

則由y﹣1=k(x+2),取y=0得

,解得k<﹣1或k>

即當k∈ 時,直線l與C1沒有公共點,與C2有一個公共點,

故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點.

,解得k=﹣1或k=

即當k=﹣1或k= 時,直線l與C1只有一個公共點,與C2有一個公共點.

時,直線l與C1有兩個公共點,與C2無公共點.

故當k=﹣1或k= 時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點.

,解得﹣1<k<﹣ 或0<k<

即當﹣1<k<﹣ 或0<k< 時,直線l與C1有兩個公共點,與C2有一個公共點.

此時直線l與C恰有三個公共點.

綜上,當k∈ ∪{0}時,直線l與C恰有一個公共點;

當k ∪{﹣1, }時,直線l與C恰有兩個公共點;

當k∈ 時,直線l與軌跡C恰有三個公共點.


【解析】(1)設出M點的坐標,直接由題意列等式,整理后即可得到M的軌跡C的方程;(2)設出直線l的方程為y﹣1=k(x+2),和(1)中的軌跡方程聯(lián)立化為關于y的一元二次方程,求出判別式,再在直線y﹣1=k(x+2)中取y=0得到 .然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x0<0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍.

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