Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，試比較ea﹣1與ae﹣1的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x）=ex+e﹣x，

∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函數(shù)：f（x）是R上的偶函數(shù)

（2）解：若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，

即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，

∵x＞0，

∴ex+e﹣x﹣1＞0，

即m≤ 在（0，+∞）上恒成立，

設(shè)t=ex，（t＞1），則m≤ 在（1，+∞）上恒成立，

∵ =﹣ =﹣ ，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，

∴m

（3）解：令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），

則g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），

當(dāng)x＞1，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

故此時(shí)g（x）的最小值g（1）=e+ ﹣2a，

由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，

故e+ ﹣2a＜0，

即a＞ （e+ ），

令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，

則h′（x）=1﹣ ，

由h′（x）=1﹣ =0，解得x=e﹣1，

當(dāng)0＜x＜e﹣1時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)x＞e﹣1時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，

∴h（x）在（0，+∞）上的最小值為h（e﹣1），

注意到h（1）=h（e）=0，

∴當(dāng)x∈（1，e﹣1）（0，e﹣1）時(shí)，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，

當(dāng)x∈（e﹣1，e）（e﹣1，+∞）時(shí)，h（x）＜h（e）=0，

∴h（x）＜0，對(duì)任意的x∈（1，e）成立．

①a∈（ （e+ ），e）（1，e）時(shí)，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，從而ea﹣1＜ae﹣1，

②當(dāng)a=e時(shí)，ae﹣1=ea﹣1，

③當(dāng)a∈（e，+∞）（e﹣1，+∞）時(shí)，當(dāng)a＞e﹣1時(shí)，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，從而ea﹣1＞ae﹣1

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數(shù)；（2）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）構(gòu)u造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值與單調(diào)性之間的關(guān)系，分別進(jìn)行討論即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．