【題目】已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)﹣
(1)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若f(x)存在兩個極值點x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)=ln(1+ax)﹣

∴f′(x)= =

∵(1+ax)(x+2)2>0,∴當(dāng)1﹣a≤0時,即a≥1時,f′(x)≥0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<a≤1時,由f′(x)=0得x=± ,則函數(shù)f(x)在(0, )單調(diào)遞減,在( ,+∞)單調(diào)遞增.


(2)解:由(1)知,當(dāng)a≥1時,f′(x)≥0,此時f(x)不存在極值點.

因此要使f(x)存在兩個極值點x1,x2,則必有0<a<1,又f(x)的極值點值可能是x1= ,x2=﹣ ,

且由f(x)的定義域可知x>﹣ 且x≠﹣2,

∴﹣ >﹣ 且﹣ ≠﹣2,解得a≠ ,則x1,x2分別為函數(shù)f(x)的極小值點和極大值點,

∴f(x1)+f(x2)=ln[1+ax1]﹣ +ln(1+ax2)﹣ =ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]﹣

=ln(2a﹣1)2 =ln(2a﹣1)2+ ﹣2.

令2a﹣1=x,由0<a<1且a≠ 得,

當(dāng)0<a< 時,﹣1<x<0;當(dāng) <a<1時,0<x<1.

令g(x)=lnx2+ ﹣2.

(i)當(dāng)﹣1<x<0時,g(x)=2ln(﹣x)+ ﹣2,∴g′(x)= = <0,

故g(x)在(﹣1,0)上單調(diào)遞減,g(x)<g(﹣1)=﹣4<0,

∴當(dāng)0<a< 時,f(x1)+f(x2)<0;

(ii)當(dāng)0<x<1.g(x)=2lnx+ ﹣2,g′(x)= = <0,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,g(x)>g(1)=0,

∴當(dāng) <a<1時,f(x1)+f(x2)>0;

綜上所述,a的取值范圍是( ,1).


【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,注意對a分類討論;(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值,注意a的討論及利用換元法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決.

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其中為區(qū)間[﹣1,1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是(
A.0
B.1
C.2
D.3

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A.[﹣ ]
B.[﹣ , ]
C.[﹣ ]
D.[﹣ , ]

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