Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a₂=-a（a＞0），且{a_n}從第二項(xiàng)起是公差為6的等差數(shù)列，S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，用a與n表示a_n與S_n；
（2）若在S₆與S₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是S_n的最小值，試求a的取值范圍；
（3）若a為正整數(shù)，在（2）的條件下，設(shè)S_n取S₆為最小值的概率是p₁，S_n取S₇為最小值的概率是p₂，比較p₁與p₂的大小．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以由通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求解．
（2）由 （1）知：{a_n}是等差數(shù)列，且公差為6，所以數(shù)列遞增，如果S₆是S_n的最小值，則有

a6≤0 a7≥0

，若S₇是S_n的最小值，則有

a7≤0 a8≥0

兩種情況最后取并集．
（3）由“a是正整數(shù)”，則本題是一個(gè)古典概型，由（2）知，a的所以取值為：24，25，26，…，36．當(dāng)S₆是S_n最小值時(shí)，a的取值為：24，25，26，27，28，29，30，當(dāng)S₇是S_n最小值時(shí)，a的取值為：30，31，32，33，34，35，36，由概率公式求得p₁，p₂再比較．

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解答：解：（1）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-a+6（n-2），
即a_n=6n-（a+12）．
∴S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=a+（n-1）（-a）+

(n-1)(n-2)

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•6=3n²-（a+9）n+2a+6．
（2）由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是等差數(shù)列，公差為6，數(shù)列遞增．
若S₆是S_n的最小值，則

a6≤0 a7≥0

即

24-a≤0 30-a≥0

∴24≤a≤30．
若S₇是S_n的最小值，則

a7≤0 a8≥0

即

30-a≤0 36-a≥0

∴30≤a≤36．
∴當(dāng)S₆與S₇兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是S_n的最小值時(shí)，a的取值范圍是[24，36]．
（3）∵a是正整數(shù)，由（2）知，a=24，25，26，，36．
當(dāng)S₆是S_n最小值時(shí)，a=24，25，26，27，28，29，30
當(dāng)S₇是S_n最小值時(shí)，a=30，31，32，33，34，35，36
∴p₁=p₂=

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點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式以及用通項(xiàng)法研究前n和最值問(wèn)題，同時(shí)，還滲透了概率問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，轉(zhuǎn)化比較靈活，要求比較高．