數(shù)列{an}滿足a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),則m=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
的整數(shù)部分是( 。
分析:由已知a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),可得an+1-an>0,得到數(shù)列{an}單調(diào)遞增.再變形為an+1-1=an(an-1),即
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
,也即
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1
.利用“裂項求和”可得m,再利用其單調(diào)性即可得出m的整數(shù)部分.
解答:解:∵a1=
4
3
,an+1=an2-an+1(n∈N*),∴an+1-an=(an-1)2>0,∴an+1>an,∴數(shù)列{an}單調(diào)遞增.
∴an+1-1=an(an-1)>0,
1
an+1-1
=
1
an-1
-
1
an
,∴
1
an
=
1
an-1
-
1
an+1-1

∴Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=(
1
a1-1
-
1
a2-1
)+(
1
a2-1
-
1
a3-1
)
+…+(
1
an-1
-
1
an+1-1
)

=
1
a1-1
-
1
an+1-1
=3-
1
an+1-1
,
∴m=S2013=3-
1
a2014-1

a1=
4
3
,∴a2=(
4
3
)2-
4
3
+1
=
13
9
,∴a3=(
13
9
)2-
13
9
+1
=
133
81
,∴a4=(
133
81
)2-
133
81
+1
=
133
81
×
52
81
+1
=
6916
6561
+1>2

∵a2014>a4>2,∴a2014-1>1,∴0<
1
a2014-1
<1
,∴2<3-
1
a2014-1
<3

因此m的整數(shù)部分是2.
故選B
點評:本題考查了通過恰當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法,屬于難題.
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,則a17等于
 

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an
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lim
n→∞
an
(將A用a表示);
(II)設(shè)bn=an-A,n=1,2,…,證明:bn+1=-
bn
A(bn+A)
;
(III)若|bn|≤
1
2n
對n=1,2,…
都成立,求a的取值范圍.

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12
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(2)求{an}的通項公式.

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