Question

設(shè)b＞0，數(shù)列{a_n^}滿足a₁=b，a_n=

nban-1

an-1+n-1

（n≥2）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（4）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)形式可以看出，題設(shè)中給出了關(guān)于數(shù)列a_n的面的一個(gè)方程，即一個(gè)遞推關(guān)系，所以應(yīng)該對(duì)此遞推關(guān)系進(jìn)行變形整理以發(fā)現(xiàn)其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，觀察發(fā)現(xiàn)若對(duì)方程兩邊取倒數(shù)則可以得到一個(gè)類似等差數(shù)列的形式，對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行討論，分類求其通項(xiàng)即可．
（2）由于本題中條件較少，解題思路不宜用綜合法直接分析出，故求解本題可以采取分析法的思路，由結(jié)論探究其成立的條件，再證明此條件成立，即可達(dá)到證明不等式的目的．

解答：解：（1）∵an =

nban-1

an-1+n-1

（n≥2），
∴

n

an

=

1

b

+

1

b

×

n-1

an-1

（n≥2），
當(dāng)b=1時(shí)，

n

an

=1+

n-1

an-1

（n≥2），
∴數(shù)列{

n

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴

n

an

=1+（n-1）×1=n，即a_n=1，
當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，

n

an

+

1

1-b

=

1

b

(

1

1-b

+

n-1

an-1

)（n≥2），
即數(shù)列{

n

an

+

1

1-b

}是以

1

a1

+

1

1-b

=

1

b(1-b)

為首項(xiàng)，公比為

1

b

的等比數(shù)列，
∴

n

an

+

1

1-b

=

1

b(1-b)

×(

1

b

)n-1=

1

b n(1-b)

，即a_n=

nbn(1-b)

1-bn

，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是an=

1       b=1 nbn(1-b) 1-bn   b＞0，且b≠1

（2）證明：當(dāng)b=1時(shí)，不等式顯然成立
當(dāng)b＞0，且b≠1時(shí)，a_n=

nbn(1-b)

1-bn

，要證對(duì)于一切正整數(shù)n，2a_n≤bⁿ⁺¹+1，只需證2×

nbn(1-b)

1-bn

≤bⁿ⁺¹+1，即證2nbn≤(bn+1+1)×

1-bn

1-b

∵(bn+1+1)×

1-bn

1-b

=(bn+1+1)×

bn-1

b-1

=（bⁿ⁺¹+1）×（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=（b²ⁿ+b^2n-1+…+bⁿ⁺²+bⁿ⁺¹）+（b^n-1+b^n-2+…+b+1）
=bⁿ[（bⁿ+b^n-1+…+b²+b）+（

1

b

+

1

b 2

+…+

1

b n-1

+

1

bn

）]
≥bⁿ（2+2+…+2）=2nbⁿ
所以不等式成立，
綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)n，有2a_n≤bⁿ⁺¹+1，

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)，研究數(shù)列的性質(zhì)的能力，本題中遞推關(guān)系的形式適合用取倒數(shù)法將所給的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的形式，兩邊取倒數(shù)，條件許可的情況下，使用此技巧可以使得解題思路呈現(xiàn)出來(lái)．?dāng)?shù)列中有請(qǐng)多成熟的規(guī)律，做題時(shí)要注意積累這些小技巧，在合適的情況下利用相關(guān)的技巧，可以簡(jiǎn)化做題．在（2）的證明中，采取了分析法的來(lái)探究解題的思路，通過(guò)本題希望能進(jìn)一步熟悉分析法證明問(wèn)題的技巧．