Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面,底面是正三角形,

(1)求證:平面;

(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)

【解析】

(1) 在線(xiàn)段上取一點(diǎn).使.連結(jié).利用線(xiàn)段成比例定理可以證明出線(xiàn)線(xiàn)平行以及數(shù)量關(guān)系,根據(jù)平行四邊形的判定定理和性質(zhì)、線(xiàn)面平行的判定定理可以證明出本問(wèn)；

(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可以求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

(1)證明:在線(xiàn)段上取一點(diǎn).使.連結(jié).

在中.因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

所以，且,

因?yàn)?/span>.

所以,

所以且,

故四邊形為平行四邊形,所以,

又平面平面,

所以平面.

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)榈酌?/span>是正三角形，,

所以點(diǎn),

則,

設(shè)平面的法向量為.

由,

令.得平面的一個(gè)法向量為,

又,

設(shè)直線(xiàn)與平面BCF所成角的大小為.

則,

所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.