Question

【題目】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且為等差數(shù)列的前三項(xiàng)．

（1）求與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，對(duì)任意的使得？若存在請(qǐng)求出的最大值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的最大值為2．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，把用表示并列出等式，解得，然后求得，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式寫(xiě)出，由此又可得出的等差數(shù)列的前3項(xiàng)，從而得通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，是等差數(shù)列相鄰項(xiàng)相乘的倒數(shù)，因此其前項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法可求，從而得到的取值范圍，不等式成立，即，因此只要小于等于最小值即可．

試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由且為等差數(shù)列三項(xiàng)，

則，得，得．

從而

所以的前三項(xiàng)為，故等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（2）由（1）知，

所以數(shù)列的前項(xiàng)和．

從而得對(duì)于，，故由知只要存在正整數(shù)使，

即只要，解得．

因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以的最大值為2．