Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，．

（Ⅰ）證明：直線過定點(diǎn)；

（Ⅱ）以，為切點(diǎn)作的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）2．

【解析】

（Ⅰ）先求出拋物線的方程，然后設(shè)直線的方程為，設(shè)，（，），聯(lián)立直線和拋物線的方程可得，由韋達(dá)定理可得的值，再根據(jù)，可得出b的值，進(jìn)而可得出直線恒過定點(diǎn)；

（Ⅱ）以為切點(diǎn)的切線方程為，以為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，解得，由（Ⅰ）知，所以兩切線交點(diǎn)的軌跡方程為，進(jìn)而可得出的最小值.

（Ⅰ）根據(jù)題意，，所以．

故拋物線．

由題意設(shè)直線的方程為．

由，消去整理得．

顯然．

設(shè)，（，），則，

所以．

由題意得，解得或（舍去）．

所以直線的方程為，故直線過定點(diǎn)；

（Ⅱ）因為，所以，，

故以為切點(diǎn)的切線方程為，即，

以為切點(diǎn)的切線方程為，即

聯(lián)立，解得．

又因為，

所以兩切線交點(diǎn)的軌跡方程為．

因為圓心到直線的距離為3，

所以圓上一點(diǎn)到直線的最小距離為，

故的最小值為2．