【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點(diǎn)和長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，試證明：直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，且（為原點(diǎn)）．

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進(jìn)而可求得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，可得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由、、三點(diǎn)共線(xiàn)可得出

（1）由題意得，解得，．

所以橢圓的方程為；

（2）由題意知直線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)為，

設(shè)、，則，設(shè)，

聯(lián)立消去得：，

由得，即時(shí)，，一定存在，

，.

當(dāng)斜率不為時(shí)：因?yàn)?/span>、、三點(diǎn)共線(xiàn)，，

，即，

即

化簡(jiǎn)，

代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，即，，

，且，

當(dāng)斜率時(shí)，直線(xiàn)與軸重合，滿(mǎn)足結(jié)論．

綜上，直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，且

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費(fèi)為每件40元，若用x表示該廠(chǎng)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù)，則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元，又該廠(chǎng)職工工資固定支出12500元．

（1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；

（2）如果該廠(chǎng)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過(guò)3000件，且產(chǎn)品能全部銷(xiāo)售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查：每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)Q（x）與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：，試問(wèn)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤(rùn)最高？（總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額-總的成本）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，直線(xiàn)與圓交于、兩點(diǎn)；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程，并求的取值范圍；

（2）求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2020年是我國(guó)全面建成小康社會(huì)和“十三五”規(guī)劃收官之年,也是佛山在經(jīng)濟(jì)總量超萬(wàn)億元新起點(diǎn)上開(kāi)啟發(fā)展新征程的重要?dú)v史節(jié)點(diǎn).作為制造業(yè)城市,佛山一直堅(jiān)持把創(chuàng)新擺在制造業(yè)發(fā)展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成為面向全球的國(guó)家制造業(yè)創(chuàng)新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市場(chǎng)”的創(chuàng)新發(fā)展之路.在推動(dòng)制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展的大環(huán)境下,佛山市某工廠(chǎng)統(tǒng)籌各類(lèi)資源,進(jìn)行了積極的改革探索.下表是該工廠(chǎng)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（）（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（萬(wàn)元）的四組對(duì)照數(shù)據(jù).

x

5

7

9

11

y

200

298

431

609

工廠(chǎng)研究人員建立了y與x的兩種回歸模型,利用計(jì)算機(jī)算得近似結(jié)果如下：

模型①：

模型②：.

其中模型①的殘差（實(shí)際值－預(yù)報(bào)值）圖如圖所示：

（1）根據(jù)殘差分析,判斷哪一個(gè)模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程？并說(shuō)明理由；

（2）市場(chǎng)前景風(fēng)云變幻,研究人員統(tǒng)計(jì)歷年的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)得到每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格q（萬(wàn)元）是一個(gè)與產(chǎn)量x相關(guān)的隨機(jī)變量,分布列為：

q

P

0.5

0.4

0.1

結(jié)合你對(duì)（1）的判斷,當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí),月利潤(rùn)的預(yù)報(bào)期望值最大？最大值是多少（精確到0.1）？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，、、兩兩垂直，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）.

（1）若異面直線(xiàn)、所成角的余弦值為，求的長(zhǎng)；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】中心在原點(diǎn)的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且橢圓E與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l（直線(xiàn)的斜率k存在且不為0）交E于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，直線(xiàn)BD交x軸于點(diǎn)Q.試探究是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（0＜b＜2）的離心率為，F為橢圓的右焦點(diǎn)，PQ為過(guò)中心O的弦．

（1）求面積的最大值；

（2）動(dòng)直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，證明：在第一象限內(nèi)存在定點(diǎn)M，使得當(dāng)直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BM的斜率均存在時(shí)，其斜率之和是與t無(wú)關(guān)的常數(shù)，并求出所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)用表示中的最大值，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正三棱錐P﹣ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，且AE＝2EB，過(guò)點(diǎn)E作該正三棱錐外接球的截面，則所得截面圓面積的最小值是（ ）

A.B.C.D.

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