【題目】如圖，在四棱錐中，、、兩兩垂直，，，，為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）.

（1）若異面直線、所成角的余弦值為，求的長；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量法結(jié)合異面直線、所成角的余弦值為可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可求得的長；

（2）求出平面和平面的法向量，利用空間向量法可求得二面角的平面角的余弦值.

（1）因?yàn)?/span>、、兩兩垂直，所以以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則由，，

得，，，，.

設(shè)，其中，

所以，

因?yàn)橹本�、所成角的余弦值為，

所以，

解得，所以，故的長為；

（2）由（1）知，，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由，得.

取，則，所以平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，

取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>，

由圖形可知，二面角的平面角為鈍角，其余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為且過點(diǎn)P（,1）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若過點(diǎn)M（3,0）的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P',判斷直線P'Q是否經(jīng)過定點(diǎn),如果經(jīng)過,求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不經(jīng)過,說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年北京世園會的吉祥物“小萌芽、小萌花”，是一對代表著生命與希望、勤勞與美好、活潑可愛的園藝小兄妹，造型創(chuàng)意來自東方文化中百子圖的“吉祥娃娃”，通過頭飾、道具、服裝創(chuàng)意的巧妙組合，被賦予了普及園藝知識、傳播綠色理念的特殊使命.現(xiàn)將三張分別印有“小萌芽”、“小萌花”、“牡丹花”這三個(gè)圖案的卡片（卡片的形狀和大小相同，質(zhì)地也相同）放入盒子中.若從盒子中依次有放回的取出兩張卡片，則一張為小萌芽，一張為小萌花的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】盒中有形狀、大小都相同的2個(gè)紅色球和3個(gè)黃色球，從中取出一個(gè)球，觀察顏色后放回并往盒中加入同色球4個(gè)，再從盒中取出一個(gè)球，則此時(shí)取出黃色球的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且以橢圓上的點(diǎn)和長軸兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）經(jīng)過定點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，試證明：直線與軸的交點(diǎn)為一個(gè)定點(diǎn)，且（為原點(diǎn)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當(dāng)?shù)氐牧?xí)俗是農(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會在上一年農(nóng)歷十二月底進(jìn)行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:

采購數(shù)x

客戶數(shù)

10

10

5

20

5

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計(jì)采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);

(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價(jià)格出售,每箱利潤為20元,預(yù)計(jì)銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價(jià)下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列對任意連續(xù)三項(xiàng)，均有，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.

（1）判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：；

②等比數(shù)列：；

（2）若數(shù)列滿足對任何正整數(shù)，均有.證明：數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是.

（3）跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有，求首項(xiàng)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)的直線l：與拋物線E：（）交于B，C兩點(diǎn)，且A為線段的中點(diǎn).

（1）求拋物線E的方程；

（2）已知直線：與直線l平行，過直線上任意一點(diǎn)P作拋物線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得直線恒過定點(diǎn)A？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

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