Question

【題目】任意連結(jié)正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)組成一條閉折線．求證當(dāng)中必有兩條邊是平行的．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用、、、、、代表六個(gè)頂點(diǎn)，

由圖可見，兩兩連線的15條線段可以分為六類平行線：

（1），其下標(biāo)滿足．

（2），其下標(biāo)滿足．

（3），其下標(biāo)滿足．

（4），其下標(biāo)滿足．

（5），其下標(biāo)滿足．

（6），其下標(biāo)滿足．

由此可以得出兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1 兩條線段的充要條件是．

如圖，有

．

結(jié)論2 六類平行線恰好對應(yīng)著模6的六個(gè)剩余1，2，3，4，5，0.

由于封閉折線上的每一點(diǎn)都是兩條線段的端點(diǎn)，因而其六條線段上各端點(diǎn)下標(biāo)之和為

． ①

若封閉折線上的六條邊分別取自上述六類(每類一條)，

則其端點(diǎn)下標(biāo)之和關(guān)于模6取遍1，2，3，4，5，0，有．

這與①矛盾．所以，封閉折線上的六條邊最多取自五類，至少有兩條邊屬于同一類，這同一類的邊就互相平行.