（2013•海淀區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線y=kx交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，在直線l：x+y-3=0上存在點(diǎn)P，使得△PAB為等邊三角形，求k的值．
分析：（I）由題意通過解直角三角形即可求得a，b值；
（II）設(shè)A（x1，y1），則B（-x1，-y1），當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，根據(jù)△PAB是等邊三角形容易求得k值；當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx（k≠0），聯(lián)立
x2
3
+y2=1
y=kx
可表示出|x1|，進(jìn)而由弦長公式表示出|AO|，設(shè)AB的垂直平分線為y=-
1
k
x，它與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)記為P（x0，y0），聯(lián)立
y=-x+3
y=-
1
k
x
可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出|PO|，根據(jù)△PAB為等邊三角形可得|PO|=
3
|AO|，由此可解得k值，綜上兩種情況即得答案；
解答：解：（I）因?yàn)闄E圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，
所以a=2cos30°=
3
，b=2sin30°=1，
所以橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1；
（II）設(shè)A（x1，y1），則B（-x1，-y1），
AB的垂直平分線就是y軸，y軸與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)為P（0，3），
又因?yàn)閨AB|=2
3
，|PO|=3，所以∠PAO=60°，
所以△PAB是等邊三角形，所以直線AB的方程為y=0；
當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx（k≠0），
由
x2
3
+y2=1
y=kx
，得（3k2+1）x2=3，
所以|x1|=
3
3k2+1
，則|AO|=
1+k2
3
3k2+1
=
3k2+3
3k2+1
，
設(shè)AB的垂直平分線為y=-
1
k
x，它與直線l：x+y-3=0的交點(diǎn)記為P（x0，y0），
所以
y=-x+3
y=-
1
k
x
，解得
x0=
3k
k-1
y0=
-3
k-1
，則|PO|=
9k2+9
(k-1)2
，
因?yàn)椤鱌AB為等邊三角形，所以應(yīng)有|PO|=
3
|AO|，
代入得到
9k2+9
(k-1)2
=
3
•
3k2+3
3k2+1
，解得k=0（舍），k=-1，
此時(shí)直線AB的方程為y=-x，
綜上，k的值為0或-1．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題及橢圓方程的求解，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握．
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x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）直線l與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)(0，  -
1
2
)，求△AOB（O為原點(diǎn)）面積的最大值．

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（Ⅰ） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請寫出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫出一種方法即可）； 
1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
（Ⅱ） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
（Ⅲ）對由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的任意一個(gè)數(shù)表A，能否經(jīng)過有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請說明理由．

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