Question

（2013•海淀區(qū)二模）設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴�有�?shù)的符號(hào)，稱為一次“操作”．
（Ⅰ） 數(shù)表A如表1所示，若經(jīng)過(guò)兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出每次“操作”后所得的數(shù)表（寫(xiě)出一種方法即可）； 

1	2	3	-7
-2	1	0	1

表1
（Ⅱ） 數(shù)表A如表2所示，若必須經(jīng)過(guò)兩次“操作”，才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的所有可能值；

a	a2-1	-a	-a2
2-a	1-a2	a-2	a2

表2
（Ⅲ）對(duì)由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的任意一個(gè)數(shù)表A，能否經(jīng)過(guò)有限次“操作”以后，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：解：（I）根據(jù)題中一次“操作”的含義，將原數(shù)表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫(xiě)出一種即可） 
（II）  每一列所有數(shù)之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數(shù)之和分別為-1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，列出不等關(guān)系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
（III） 按要求對(duì)某行（或某列）操作一次時(shí)，則該行的行和（或該列的列和），由負(fù)整數(shù)變?yōu)檎�整�?shù)，都會(huì)引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數(shù)陣中mn個(gè)數(shù)之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，但是每次操作都只
是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號(hào)，而不改變其絕對(duì)值，顯然，數(shù)表中mn個(gè)數(shù)之和必然小于等于

m

i=1

n

j=1

|aij|，可見(jiàn)其增加的趨勢(shì)必在有限次之后終止，終止之時(shí)必然所有的行和與所有的列和均為非負(fù)整數(shù)，故結(jié)論成立．

解答：解：（I）
法1：

1	2	3	-7
-2	1	0	1

改變第4列得：

1	2	3	7
-2	1	0	-1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	-1	0	1

法2：

1	2	3	-7
-2	1	0	1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	-1	0	-1

改變第4列得：

1	2	3	7
2	-1	0	1

法3：

1	2	3	-7
-2	1	0	1

改變第1列得：

-1	2	3	7
2	1	0	-1

改變第4列得：

-1	2	3	7
2	1	0	-1

（寫(xiě)出一種即可）                                                  …（3分）

（II）   每一列所有數(shù)之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數(shù)之和分別為-1，1；
①如果操作第三列，則

a	a2-1	a	-a2
2-a	1-a2	-a+2	a2

則第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，

2a-1≥0 5-2a≥0

，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行

-a	-a2+1	a	a2
2-a	1-a2	a-2	a2

則每一列之和分別為2-2a，2-2a²，2a-2，2a²
解得a=1                                     …（9分）
綜上a=1                                             …（10分）
（III） 證明：按要求對(duì)某行（或某列）操作一次時(shí)，則該行的行和（或該列的列和）
由負(fù)整數(shù)變?yōu)檎�整�?shù)，都會(huì)引起該行的行和（或該列的列和）增大，
從而也就使得數(shù)陣中mn個(gè)數(shù)之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，
但是每次操作都只是改變數(shù)表中某行（或某列）各數(shù)的符號(hào)，而不改變其絕對(duì)值，
顯然，數(shù)表中mn個(gè)數(shù)之和必然小于等于

m

i=1

n

j=1

|aij|，
可見(jiàn)其增加的趨勢(shì)必在有限次之后終止，終止之時(shí)必然所有的行和與所有的列和均為非負(fù)整數(shù)，故結(jié)論成立 …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了進(jìn)行簡(jiǎn)單的演繹推理，以及新定義的理解和切變變換的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于難題．