Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄AS過(guò)定點(diǎn)P（﹣2 ），且與定圓Q：（x﹣2 ）2+y2=36相切，記動(dòng)圓圓心S的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)曲線C與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M，N為橢圓C上相異的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，且直線AM與直線BN的斜率互為相反數(shù)，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是定值，求出這個(gè)值；如果不是定值，說(shuō)明理由；
（3）在（2）條件下，求四邊形AMBN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)圓S的半徑為R，

∵點(diǎn) 在圓 內(nèi)，且兩圓相切

∴設(shè)PS=R，QS=6﹣R，

∴ ，

∴圓心S的軌跡為以P，Q為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓

∴2a=6，2c=4 ，∴a=3，c=2 ，∴b2=1，

∴曲線C的方程為

（2）解：由（1）可知A（3，0），B（0，1）

設(shè)AM的斜率為k，則直線AM方程為y=k（x﹣3），直線BN方程為y=﹣kx+1

由 ，得M點(diǎn)坐標(biāo)為 …

由 ，得

所以MN的斜率

（3）解：設(shè)MN的方程為 ，

由 ，得2x2+6mx+9m2﹣9=0

則 ，

A到直線MN的距離分別為

B到直線MN的距離分別為

所以四邊形AMBN面積 =

又﹣1＜m＜1，所以四邊形AMBN面積的取值范圍是

【解析】（1）根據(jù)兩圓相切可得出P S + Q S = P Q，進(jìn)而得到圓心S的軌跡為以P，Q為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，利用已知求出橢圓的方程。（2）由斜截式求出兩條直線的方程，聯(lián)立它們與橢圓的方程，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出MN的斜率。（3）聯(lián)立直線和橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的方程2x2+6mx+9m2﹣9=0，利用韋達(dá)定理，求出 x M+ x N 、xM .xN 的表達(dá)式，分別求出MN、以及A到直線MN的距離分別為 d1 和B到直線MN的距離分別為 d2，由題意四邊形AMBN面積 S = S △ AMN + S △ BMN= M N ( d 1 + d 2 ),再根據(jù)m的取值范圍進(jìn)而得到邊形AMBN面積的取值范圍。