Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得列等量關(guān)系，解得；（2）先研究函數(shù)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)再比較兩個(gè)零點(diǎn)大小，需分三種情況討論：最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）任意存在性問題，一般先轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題：，易確定的最大值為，此時(shí)可繼續(xù)分類討論求的最大值，也可以再利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值：的最大值.

試題解析：（1）由題意知，，即，解得.

（2）.①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.③當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是.④當(dāng)時(shí),,在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）由題意知，在上有,由已知得，，由（2）可知，①當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增，故，所以，解得,故.②當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故,由可知，即，

綜上所述，.