Question

8．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（Ⅰ）過點(diǎn)（3，-1），且離心率$e=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）一條漸近線為$y=-\frac{3}{2}x$，頂點(diǎn)間距離為6．

Answer 1

分析 （I）由離心率$e=\sqrt{2}$，可得此雙曲線為等軸雙曲線，又過點(diǎn)（3，-1），因此焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²-y²=a²（a＞0），把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得出．
（II）①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．

解答 解：（I）∵離心率$e=\sqrt{2}$，∴此雙曲線為等軸雙曲線，
過點(diǎn)（3，-1），因此焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x²-y²=a²（a＞0），
∴a²=9-1=8，∴雙曲線方程為x²-y²=8．
（II）①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．
由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=$\frac{9}{2}$．∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{4{y}^{2}}{81}$=1．
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）．
由題意可得：$\frac{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=2．∴標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．