Question

17．設數列{a_n}前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-1（n∈N*），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若對任意的n∈N*，不等式k（S_n+1）≥2n-9恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出數列的首項，利用a_n=S_n-S_n-1，求解數列的通項公式．
（2）由k（S_n+1）≥2n-9，整理得k≥$\frac{2n-9}{2^n}$，令${b_n}=\frac{2n-9}{2^n}$，判斷數列的單調性，求出最大項，然后求解實數k的取值范圍．

解答 解：（1）令n=1，S₁=2a₁-1=a₁，解得a₁=1．…（2分）
由S_n=2a_n-1，有S_n-1=2a_n-1-1，
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1，
化簡得a_n=2a_n-1（n≥2），
∴數列{a_n}是以首項為1，公比為2 的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式${a_n}={2^{n-1}}$．…（6分）
（2）由k（S_n+1）≥2n-9，整理得k≥$\frac{2n-9}{2^n}$，
令${b_n}=\frac{2n-9}{2^n}$，則${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2n-7}{{{2^{n+1}}}}-\frac{2n-9}{2^n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}$，…（8分）
n=1，2，3，4，5時，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}＞0$，
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＜b₅．…（10分）
n=6，7，8，…時，${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{11-2n}{{{2^{n+1}}}}＜0$，即b₆＞b₇＞b₈＞…
∵b₅=$\frac{1}{32}$＜${b_6}=\frac{3}{64}$，
∴b_n的最大值是${b_6}=\frac{3}{64}$．
∴實數k的取值范圍是$[\frac{3}{64}，\;\;+∞）$．…（12分）

點評 本題考查數列的遞推關系式以及數列與函數相結合，考查構造法以及函數的單調性的應用，考查計算能力．