【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間[0,1]上有零點,則ab的最大值是

【答案】
【解析】解:∵函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間[0,1]上有零點,

∴△=a2﹣4b≥0,

(i)若△=0,即b= 時,f(x)的零點為x=﹣ ,

∴0≤﹣ ≤1,即﹣2≤a≤0,

∴ab=

∴當a=0時,ab取得最大值0;

(ii)若△>0,即b<

①若函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間[0,1]上有一個零點,則f(0)f(1)≤0,

∴b(1+a+b)≤0,

即b+b2+ab≤0,

∴ab≤﹣b2﹣b=﹣(b+ 2+ ,

∴ab的最大值是 ;

②若函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在區(qū)間[0,1]上有兩個零點,

,即

顯然ab≤0,

綜上,ab的最大值為

【考點精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減。

練習冊系列答案
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D. ﹣1

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