Question

【題目】已知，，是關(guān)于的方程的兩個不等的實根，且，函數(shù)的定義域為，記，分別為函數(shù)的最大值和最小值.

（1）試判斷在上的單調(diào)性；

（2）設(shè)，若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義或利用導數(shù)判斷在上的單調(diào)性；

（2）由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，求出.由是奇函數(shù)，可得，即求.

（1）解法一：對于，，設(shè)

則，

，

因為，，所以，，

所以，

因為，所以，

即，又，

所以，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

解法二：設(shè)，，

因為，是關(guān)于的方程的兩個不等的實根，

所以，

所以，等號當且僅當或時成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.

（2）由（1）可知函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，

所以，，

所以，

因為，為方程的兩個實根，

所以，，

所以，

所以，

所以，

因為是奇函數(shù)，所以對任意都成立，

即恒成立，

，所以，

即，

所以，即.