Question

【題目】某工廠抽取了一臺(tái)設(shè)備在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測(cè)量一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計(jì)算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）

（2）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這臺(tái)設(shè)備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個(gè)產(chǎn)品，記其質(zhì)量指標(biāo)值為.若，則認(rèn)為該產(chǎn)品為一等品；，則認(rèn)為該產(chǎn)品為二等品；若，則認(rèn)為該產(chǎn)品為不合格品.已知設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個(gè).

（i）用樣本估計(jì)總體，問(wèn)該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過(guò)？

（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動(dòng)，補(bǔ)足50萬(wàn)元即可用設(shè)備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進(jìn)設(shè)備.經(jīng)測(cè)試，設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個(gè)，生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個(gè)一等品可獲得利潤(rùn)50元，生產(chǎn)一個(gè)二等品可獲得利潤(rùn)30元，生產(chǎn)一個(gè)不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購(gòu)設(shè)備？

參考數(shù)據(jù)：①；②；③，.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) （i）見解析（ii）見解析

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，用各組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表可求得樣本的平均值，方差。

（2）根據(jù)（1）中求得的平均值，方差，可求得在范圍內(nèi)的頻率，進(jìn)而可判斷出不合格品是否超過(guò)；或利用正太分布曲線，求后進(jìn)行判斷。

跟題意，求得A設(shè)備與B設(shè)備的盈利均值，并根據(jù)每天多盈利額判斷即可。

（1）由頻率分布直方圖可得

.

（2）（i）方法一：由（1）得，

由圖可得質(zhì)量指標(biāo)值在和的頻率為，

所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過(guò).

方法二：由于.

所以該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品超過(guò).

（ii）設(shè)，分別為設(shè)備，一天為工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)，

則

，

，

所以采用新設(shè)備利潤(rùn)每天增加，

因此，只需56天使用設(shè)備產(chǎn)生的利潤(rùn)就超過(guò)使用設(shè)備產(chǎn)生的利潤(rùn)和換購(gòu)費(fèi)用總和，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，應(yīng)該換購(gòu)設(shè)備.