【題目】拋物線M:的焦點(diǎn)為F,過(guò)焦點(diǎn)F的直線l(與x軸不垂直)交拋物線M于點(diǎn)A,B,A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn);
(2)若的垂直平分線交拋物線于C,D,四邊形外接圓圓心N的橫坐標(biāo)為19,求直線AB和圓N的方程.
【答案】(1)見(jiàn)解析,定點(diǎn);(2)直線AB:,圓N:
【解析】
(1)設(shè)直線AB:(),求出:,令即得定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求出,再分類討論,先求出CD方程為:,再根據(jù)線段CD是圓N的直徑,求出直線AB和圓N的方程.
(1)設(shè)直線AB:(),代入拋物線方程得:,
設(shè),,則,
所以,,
從而:,令得:
,
所以直線過(guò)定點(diǎn).
(2)由(1)知:,
且,
當(dāng)時(shí),
直線:,
設(shè)線段的中點(diǎn)為,則,
所以,所以,
從而CD:即,
上述方程代入得:(*),
因?yàn)?/span>CD是的垂直平分線,所以線段CD是圓N的直徑,
所以,解得:.
所以直線AB:.此時(shí)CD:,時(shí),
方程(*)化簡(jiǎn)為:,求得,
圓N:;
當(dāng)時(shí),同理求得AB:,圓N:.
綜上,直線AB:,圓N:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若的中點(diǎn)恰好為點(diǎn),求該直線的方程;
(2)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(與軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如上圖所示,在正方體中, 分別是棱的中點(diǎn), 的頂點(diǎn)在棱與棱上運(yùn)動(dòng),有以下四個(gè)命題:
A.平面 ; B.平面⊥平面;
C. 在底面上的射影圖形的面積為定值;
D. 在側(cè)面上的射影圖形是三角形.其中正確命題的序號(hào)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,,,E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點(diǎn),R,S,T是線段OF的四等分點(diǎn),,,是線段CF的四等分點(diǎn),分別以HF,EG為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)ER與ER與分別交于,,ES與ES與交于,,ET與交于點(diǎn)N,則下列關(guān)于點(diǎn),,,,N與兩個(gè)橢圓::,:的位置關(guān)系敘述正確的是( )
A.三點(diǎn),,Nspan>在,點(diǎn)在上B.,不在上,,N在上
C.點(diǎn)在上,點(diǎn),,均不在上D.,在上,,均不在上
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在甲地,隨著人們生活水平的不斷提高,進(jìn)入電影院看電影逐漸成為老百姓的一種娛樂(lè)方式.我們把習(xí)慣進(jìn)入電影院看電影的人簡(jiǎn)稱為“有習(xí)慣”的人,否則稱為“無(wú)習(xí)慣的人”.某電影院在甲地隨機(jī)調(diào)查了100位年齡在15歲到75歲的市民,他們的年齡的頻數(shù)分布和“有習(xí)慣”的人數(shù)如下表:
(1)以年齡45歲為分界點(diǎn),請(qǐng)根據(jù)100個(gè)樣本數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“有習(xí)慣”的人與年齡有關(guān);
(2)已知甲地從15歲到75歲的市民大約有11萬(wàn)人,以頻率估計(jì)概率,若每張電影票定價(jià)為元,則在“有習(xí)慣”的人中約有的人會(huì)買票看電影(為常數(shù)).已知票價(jià)定為30元的某電影,票房達(dá)到了 69.3萬(wàn)元.某新影片要上映,電影院若將電影票定價(jià)為25元,那么該影片票房估計(jì)能達(dá)到多少萬(wàn)元?
參考公式:,其中.
參考臨界值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)若,求不等式的解集;
(2)若時(shí),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)有名隊(duì)員,其中有名隊(duì)員打前鋒,有名隊(duì)員打后衛(wèi),甲、乙兩名隊(duì)員既能打前鋒又能打后衛(wèi).若出場(chǎng)陣容為名前鋒,名后衛(wèi),則不同的出場(chǎng)陣容共有______種.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)營(yíng)銷人員對(duì)某商品進(jìn)行市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到下表:
回饋點(diǎn)數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合該商品每天的銷量(百件)與返還點(diǎn)數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)若回饋6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量;
(2)已知節(jié)日期間某地?cái)M購(gòu)買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,營(yíng)銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查,得到如下頻數(shù)表:
返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間 | ||||||
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(i)求這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值(同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替;估計(jì)值精確到0.1);
(ii)將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的3人中“欲望緊縮型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):①,;②.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠抽取了一臺(tái)設(shè)備在一段時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品,測(cè)量一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)計(jì)算該樣本的平均值,方差;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這臺(tái)設(shè)備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均值,近似為樣本方差.任取一個(gè)產(chǎn)品,記其質(zhì)量指標(biāo)值為.若,則認(rèn)為該產(chǎn)品為一等品;,則認(rèn)為該產(chǎn)品為二等品;若,則認(rèn)為該產(chǎn)品為不合格品.已知設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個(gè).
(i)用樣本估計(jì)總體,問(wèn)該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過(guò)?
(ii)某公司向該工廠推出以舊換新活動(dòng),補(bǔ)足50萬(wàn)元即可用設(shè)備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進(jìn)設(shè)備.經(jīng)測(cè)試,設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個(gè),生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是,二等品的概率是,不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個(gè)一等品可獲得利潤(rùn)50元,生產(chǎn)一個(gè)二等品可獲得利潤(rùn)30元,生產(chǎn)一個(gè)不合格品虧損40元,試為工廠做出決策,是否需要換購(gòu)設(shè)備?
參考數(shù)據(jù):①;②;③,.
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